华北电力大学2022年硕士生入学考试《高等代数》初试科目考试大纲

  一、考试的总体要求

  主要考核考生对《高等代数》课程的基本理论体系和知识结构的掌握情况及熟练程度,掌握高等代数的基本理论和方法。要求考生具有一定的抽象思维和逻辑推理能力,以及综合运用各种知识解决问题的能力,要求考生概念清楚,对定理理解准确,扎实掌握,还要求有较强的计算能力,对高等代数的方法能灵活应用。

  二、考试的内容

  第一部分 多项式

  1. 掌握数域概念,一元多项式运算法则;

  2. 掌握带余除法定理,最大公因式概念及求法(辗转相除法);

  3. 掌握不可约多项式概念和因式分解唯一性定理;

  4. 掌握重因式、余数定理,零点(根)定理;

  5. 掌握复/实系数多项式的因式分解定理;

  6. 了解整系数多项式的艾森斯坦(Eisenstein)判别法。

  第二部分 行列式

  1. 掌握排列及对换的概念,排列奇偶性的概念及判定;

  2. 掌握行列式的定义,行列式的性质,行列式的各种计算方法;

  3. 掌握范德蒙德(Vandermonde)行列式;

  4. 掌握矩阵的定义和初等行、列变换,矩阵与行列式的区别;

  5. 掌握克拉默(Cramer)法则,齐次线性方程有非零解的条件。

  第三部分 线性方程组

  1. 掌握线性方程组的高斯(Gauss)消元法;

  2. 掌握向量空间、线性相关、线性无关的概念;

  3. 掌握矩阵秩的定义及求法,向量组的极大线性无关组的求法;

  4. 掌握线性方程组有解的判定:线性方程组无解,有唯一解及有无穷多组解的判定;

  5. 掌握线性方程组解的结构。

  第四部分 矩阵

  1. 掌握矩阵基本运算,掌握矩阵乘积的行列式;

  2. 掌握矩阵的逆的定义及求法,分块矩阵的概念;

  3. 理解初等矩阵的意义及性质;

  4. 掌握分块矩阵的应用。

  第五部分 二次型

  1. 掌握二次型的矩阵表示,利用合同变换化二次型为标准形;

  2. 掌握复二次型的规范形及实二次型的惯性定理;

  3. 熟练掌握二次型的规范形/标准形及正/负定二次型的相关定理。

  第六部分 线性空间

  1. 了解线性(向量)空间的定义及简单性质;

  2. 掌握维数、基底、坐标的概念;

  3. 掌握基变换与坐标变换公式,子空间的几何意义,若干子空间的举例;

  4.掌握子空间的交与和,子空间的直和。

  第七部分 线性变换

  1. 掌握线性变换的概念、运算,了解一些线性变换的背景和具体例子;

  2. 掌握线性变换与矩阵的关系,同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵之间的关系;

  3. 掌握特征值、特征向量以及特征空间的概念,会求特征值,特征向量, 掌握特征多项式的性质,特别是哈密顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理;

  4.掌握对角矩阵的定义及求法,线性变换的值域与核的概念及性质;

  5.掌握不变子空间的概念及性质;

  6.了解任意矩阵在复数域上都可相似于若尔当(Jordan) 标准形。

  第八部分 欧几里得空间

  1. 掌握Euclid空间的概念与基本性质;

  2. 掌握标准正交基与同构的概念,掌握施密特(Schimidt) 正交化过程;

  3. 掌握若干正交变换的等价定义,知道子空间与正交补及其简单的性质;

  4.掌握如何用正交矩阵化实对称矩阵为对角形;

  5.掌握最小二乘法。

  三、考试的题型

  填空题,计算题,证明题。

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